为什么狄利克雷函数的周期是任意有理数？

你要知道：
有理数 + 有理数 = 有理数
无理数 + 有理数 = 无理数
而
无理数 + 无理数 不一定等于 无理数 （比如 3+pi 和 3-pi 两个无理数相加等于 6 为有理数）

所以
由周期定义，对任意 x 都有 f(x+T) = f(x)。狄利克雷函数用 D(x) 表示：
当 T 为任意有理数时，
1. 当 x 为有理数时，x+T 还是有理数，所以有 D(x+T) = D(x) = 1
2. 当 x 为无理数时，x+T 还是无理数，所以有 D(x+T) = D(x) = 0
所以任意有理数是 D(x) 的周期，所以 D(x) 也不存在最小正周期。

而当 T 为任意无理数时：
1. 当 x 为有理数时，x+T 是无理数，所以有 D(x+T) = 0 而 D(x) = 1
2. 当 x 为无理数时，x+T 不确定，所以有 D(x+T) = 0 或 1 而 D(x) = 0
所以任意无理数不是 D(x) 的周期。

狄利克雷函数是：当x是有理数时，f(x)=1；当x是无理数时，f(x)=0。
显然该函数是个偶函数，因为x和-x要么都是有理数，要么都是无理数。
容易看出任何正的有理数都是该函数的周期，比如1，0.5都是它的周期，不过由于没有最小的正有理数，它没有最小正周期。
整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。
无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数