191问答库 > 已知各项均为正数的数列{a n }满足2a n+1 2 +3a n+1 ?a n -2a n 2 =0，n为正整数，且 a 3 + 1

已知各项均为正数的数列{a n }满足2a n+1 2 +3a n+1 ?a n -2a n 2 =0，n为正整数，且 a 3 + 1

2025-05-14 02:45:23

推荐回答（1个）

回答1：

（1）根据题意可得：2a_n+1 ² +3a_n+1 ?a_n -2a_n ² =0，
所以（a_n+1 +2a_n ）（2a_n+1 -a_n ）=0，
因为数列{a_n }各项均为正数，
所以 a n+1 =

a n ，
所以数列{a_n }是等比数列，并且公比为

．
因为 a 3 +

是 a 2 ， a 4 的等差中项，
所以 a 2 + a 4 = 2a 3 +

，即 a 1 q+ a 1 q 3 =2 a 1 q 2 +

，
解得： a 1 =

．
所以数列{a_n }通项公式为 a n = (

) n ．
（2）由（1）可得C_n =-n?2ⁿ ，
所以T_n =-2-2×2² -3×2³ -…-n×2ⁿ …①，
所以2T_n =-2² -2×2³ -3×2⁴ …-（n-1）2ⁿ -n×2ⁿ⁺¹ …②
所以①-②并且整理可得：T_n =（1-n）?2^n-1 -2．
所以要使T_n +n?2ⁿ⁺¹ ＞125成立，只要使2ⁿ⁺¹ -2＞125成立，即2ⁿ⁺¹ ＞127，
所以n≥6，
所以使T_n +n?2ⁿ⁺¹ ＞125成立的正整数n的最小值为6．