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设a>0,b>0,求证(a^2⼀b)^1⼀2+(b^2⼀a)^1⼀2≥a^1⼀2+b^1⼀2

2025-05-13 01:39:17

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回答1：

先作代换，x=根号a，y=根号b.则原不等式化为：
x^2/y+y^2/x>=x+y-------(1)
左边＝(x^3+y^3)/(xy)
=(x+y)(x^2-xy+y^2)/(xy)
因为(x-y)>=0,即xy<=(x^2+y^2)/2-----(2)
所以-xy>=-(x^2+y^2)/2
左边>=(x+y)(x^2+y^2)/(2xy)(由(2)式知：x^2+y^2>=2xy）
>=x+y

(1)式得证，原不等式成立。