191问答库 > 在等比数列{An}中,An>0,n属于N+,若A1+A2+…+An=1,1⼀A1+1⼀A2+...+1⼀An=4,公比Q不等于1.求A1A2...An.

在等比数列{An}中,An>0,n属于N+,若A1+A2+…+An=1,1⼀A1+1⼀A2+...+1⼀An=4,公比Q不等于1.求A1A2...An.

见提问标题

2025-05-18 13:57:46

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回答1：

1/a1+1/a2+...+1/an
=(1/a1+1/an)+(1/a2+1/an-1)+ ...
=(a1+an)/(a1*an) + (a2+an-1)/(a2*an-1) + ...

由等比数列性质可知
a1*a3=a2^2 => a1*an=[a(n+1)/2]^2 这里(n+1)/2为下标
或者说: a1*an=a2*an-1=...
则:
1/a1+1/a2+...+1/an
=[(a1+an)+(a2+an-1)+...]/(a1*an)
=1/(a1*an)
又 1/a1+1/a2+...+1/an=4
==> a1*an =1/4
=> [a(n+1)/2]^2=1/4
=> [a(n+1)/2]=1/2 (因为an>0)
a1a2...an =[a(n+1)/2]^n
=(1/2)^n
=2^(-n)

回答2：

我只说思路!
等比数列{1/An}的公比是等比数列{An}公比的倒数!