PQ与圆O的位置关系是：相切。
理由如下：连结OQ，
因为 BC是圆O的直径，
所以 O是BC的中点，
又 Q是AC的中点，
所以 OQ//AB，
所以 角POQ=角OPB，角COQ=角B，
因为 OP=OB，
所以 角OPB=角B，
所以 角POQ=角COQ，
又因为 OC=OP，OQ=OQ，
所以 三角形POQ全等于三角形COQ（S，A，S），
所以 角OPQ=角BCA=90度，
所以 PQ是圆O的切线，
所以 PQ与圆O相切。
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