191问答库 > 已知等差数列{a n }的首项a 1 =1，公差d＞0．且a 2 ，a 5 ，a 14 分别是等比数列{b n }的b 1 ，b 2 ，b 3

已知等差数列{a n }的首项a 1 =1，公差d＞0．且a 2 ，a 5 ，a 14 分别是等比数列{b n }的b 1 ，b 2 ，b 3

2025-05-18 15:09:31
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回答1：

（1）∵a 2 =1+d，a 5 =1+4d，a 14 =1+13d，且a 2 ，a 5 ，a 14 成等比数列，
∴（1+4d） 2 =（1+d）（1+13d），解得d=2，
∴a n =1+（n-1）?2=2n-1，
又b 1 =a 2 =3，b 2 =a 5 =9，
∴q=3， b n =3? 3 n-1 = 3 n ；
（2）
c 1
b 1
+
c 2
b 2
+…+
c n
b n
=a n+1 ，即
C 1
3
+
C 2
3 2
+…+
C n
3 n
=2n+1 ①，
则n≥2时，
C 1
3
+
C 2
3 2
+…+
C n-1
3 n-1
=2n-1 ②，
①-②得，
C n
3 n
=2 ，所以 C n =2? 3 n （n≥2），
n=1时，C 1 =9，
所以 C n =
2? 3 n ，n≥2
9，n=1
，
所以c 1 +c 2 +…+c 2013 =9+2?3 2 +2?3 3 +…+2?3 2013
=9+2?
3 2 (1- 3 2012 )
1-3
=3 2014 ；

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