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f(x+y)=f(x)*f(y) x>0 f(x)<1 求单调性

2025-05-16 09:37:38

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回答1：

f(x)恒等于0或者f(x)严格单调下降。

解答如下：
对于任意的x>0,有f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)^2>=0。从而f(x+y)<=f(x)(因为0情况一：如果存在x0>0,并且f(x0)=0,则对于任意的x>x0, 有f(x)=f(x-x0+x0)=f(x-x0)*f(x0)=0. （注：通俗地来说，就是一个零点后的其他点都是零点）由f(x0)=f(x0/2)^2=0得 f(x0/2)=0, 同理f(x0/4),f(x0/8)……,f(x0/2^n)……=0.
而对于任意的x0>x>0,必有n使得x>x0/2^n, 从而f(x)=0 （注：零点后的所有点都是零点）
于是，对于任意的x>0,都有f(x)=0.

情况二：如果不存在x0>0,并且f(x0)=0，那么对于任意的x>0,都有f(x)>0. 所以对于任意的x1>0,x2>0,且x1>x2,有f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)f(x2)