一条高中数学数列的题目，求解！！！

1）
因为a(n+1)=a(n)+√(a(n)^2+1),a(n)=tanθ(n),

0<θ(n)<π/2, 所以tanθ(n)>0, cosθ(n)>0,

则√(a(n)^2+1)=√(tanθ(n)^2+1)=1/cosθ(n),

所以tanθ(n+1)=tanθ(n)+√(tanθ(n)^2+1)=sinθ(n)/cosθ(n)+1/cosθ(n)

=(sinθ(n)+1)/cosθ(n)

=(cos^2(θ(n)/2)+sin^2(θ(n)/2)^2/(cos^2(θ(n)/2)-sin^2(θ(n)/2))

=(cos(θ(n)/2)+sin(θ(n)/2))/(cos(θ(n)/2)-sin(θ(n)/2))

=(1+tan(θ(n)/2))/(1-tan(θ(n)/2))

=tan(θ(n)/2+π/4),

即tanθ(n+1)=tan(θ(n)/2+π/4), 因为0<θ(n)<π/2,所以

θ(n+1)=θ(n)/2+π/4,

即 θ(n+1)-π/2=（θ(n)-π/2）/2,

所以θ(n)-π/2是以公比为1/2,首项为θ1-π/2的等比数列

所以第一问得证。

2）
因为a1=tan θ1=1, 所以 θ1=π/4，

根据1）有 θ(n)-π/2=（θ1-π/2）/2^(n-1)=-(π/4)/2^(n-1),

下面用数学归纳法来证明结论，

当n=1时，a1=1>(1-1)π/2,结论成立，

假设当n=k（k>=2）时,结论成立，则有

a1+a2+...+a(k)>(k-1)π/2,

当n=k+1时

a1+a2+...+a(k）+a(k+1)>(k-1)π/2+a(k+1),

若要证明此时结论也成立，可以先证(k-1)π/2+a(k+1)>kπ/2，

若要证明(k-1)π/2+a(k+1)>kπ/2成立，

则就要证明a(k+1)>π/2成立。

接下来就来证明a(k+1)>π/2，

1/a(k+1)=1/tanθ(k+1)=tan(π/2-θ(k+1)),

因为π/2-θ(n）是以1/2为公比，π/2-θ1=π/4为首项的等比数列，

所以π/2-θ(n）=π/4*(1/2)^(n-1)=π/2^(n+1),

所以
tan(π/2-θ(k+1))=tan（π/2^(k+2)）=1/a(k+1),

欲要证明a(k+1)>π/2，就要证tan（π/2^(k+2)）<2/π,

当k>1时,0<π/2^(k+2)<π/8,所以tan（π/2^(k+2)）
所以要证tan（π/2^(k+2)）<2/π，可以先证明tan(π/8)<2/π,

因为1=tan（π/4)=2tan(π/8)/(1-tan^2(π/8)),

所以tan(π/8）=√2-1，不难证明√2-1<2/π

所以当n=k+1时，结论也成立。

命题得证。

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