根据角平分线性质：
△角平分线，分对边的比等于该角两边的比。
△ABC中：
AM：MB=AC：BC=√2，
MB=AM/√2=2/√2=√2
AB=BC=2+√2
BO=BC/√2=√2+1
在△BOC中
BN：ON=BC：OC=√2
BN=√2ON
BO=ON+BN=ON+√2ON=（√2+1）ON=√2+1
ON=1
BN=√2
作OQ平行AM
∵OQ平行AM
O为AC中点
∴OQ为△ACM中位线 OQ平行于AB
∴OQ:AM=1:2 M为AB中点
∴OQ:BM=1:2
有三角形OQN相似于三角形BMN,
∴OQ:BM=1:2=ON:BN……1式
BO=AB^/2^0.5=2*2^0.5=BN+ON……2式
将1式带入2式，得到ON=2*2^0.5/3
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