已知对于?x∈[0，1]，不等式2ax2+4x（x-1）+4-a（x-1）2＞0恒成立，则实数a的取值范围是______

2025-05-14 15:52:03

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回答1：

由2^ax²+4x（x-1）+4^-a（x-1）²＞0，
得（2^a+4+4^-a）x²-（4+2?4^-a）x+4^-a＞0．
令f（x）=（2^a+4+4^-a）x²-（4+2?4^-a）x+4^-a．
对称轴方程为x=

2+4?a

2+4?a+2+2a

∈（0，1）．
∴对于?x∈[0，1]，不等式2^ax²+4x（x-1）+4^-a（x-1）²＞0恒成立，
等价于

4?4?a(2a+4+4?a)?(4+2?4?a)2

4?(2a+4+4?a)

＞0恒成立．
整理得，2^2-a＞2⁴，解得a＜-2．
∴实数a的取值范围是（-∞，-2）．
故答案为（-∞，-2）．