高等数学 二阶微分方程题目

1、如果你的任课教师，就是这个讲义的编写者，听不懂，是正常的。
你看这么短短的半张纸的一道题，编者浪里浪荡的：
A、特征方程，一贯惯例都是用 λ 表示，他偏偏用 r 表示。
B、用 r 表示，就用 r 吧，就依了他，可是第二行、第三行刚刚用的是 r，
到了第五行，又莫名其妙地变成了 λ = -1。初学者会被这种吊儿郎当
的教师，搞得糊里糊涂一团糟。
C、英文中，没有自由项 free term 的说法。
有了 xe^(-x)，微分方程就是非齐次微分方程；它是非其次方程的函数项，不叫自由项。
没有 xe^(-x)，也就是它等于0时，是齐次方程。

2、加红框的部分是这么理解：
由特征方程characteristic equation，得到两个解，其中一个解是e^(3x),
这个解无论如何求导，这个e^(3x)的形式永远不变。

而非齐次的特解，代入原微分方程后，最合必须得到函数项的结果，而现在的函数
项，是xe^(-x)形式。这样就猜想，在由特征方程得到的第二个解, e^(-x)的前面，
乘以 x(Ax + B）后，变成 x(Ax + B)e^(-x)，然后再代入原微分方程，经过系数待定后
就可以得到特解 particular solution。x是应该有的，(Ax + B)是否有，如何有，待定
后才能确定。

为什么乘以 (Ax + B)? 因为原微分方程是二阶，只能待定两个系数；
如果是三阶微分方程，(Ax + B) 就可以改成 （Ax² + Bx + C）、、、以此类推。
这个道理，楼主必须仔细琢磨才能理解。别着急，细细琢磨几分钟，非常值得。

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