（Ⅰ）f′（x）=
=0，解得x=e，1?lnx x2
又x∈（0，+∞），
当x＞e时，f′（x）＜0，函数为减函数；当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数为增函数．
所以f（x）的极大值为f(e)＝
＝lne e
；1 e
（Ⅱ）证明：对一切x∈（0，+∞），
都有x(x?1)2ex+
＞lnx成立则有(x?1)2ex+x e
＞1 e
，lnx x
由（Ⅰ）知，f（x）的最大值为f(e)＝
，1 e
并且(x?1)2ex+
≥1 e
成立，当且仅当x=1时成立，1 e
函数(x?1)2ex+
的最小值大于等于函数f(x)＝1 e
的最大值，lnx x
但等号不能同时成立．
所以，对一切x∈（0，+∞），都有x(x?1)2ex+
＞lnx成立．x e
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