求高手解题:实数X、Y、Z 满足X+Y=Z-1 ,XY=Z²－7Z+14.问 X平方+Y平方最大值？

由基本不等式得
(Z-1)^2>=4(Z^2-7Z+14)
11/3<=z<=5

X^2+Y^2
=(Z-1)^2-2(Z^2-7Z+14)
=Z^2-2Z+1-2Z^2+14Z-28
=-Z^2+12Z-27
=-(Z-6)^2+9
所以
Z=5，X^2+Y^2最大为8
Z=11/3，X^2+Y^2最小为32/9

(x+y)(x+y)=x2+y2+2xy

所以,x2+y2=(x+y)(x+y)-2xy

=(z-1)(z-1)-2(z2-7z+14)

=z2-2z+1-2z2+14z-28

=-z2+12z-27

=-(z2-12z)-27

=-(z-6)2-27+36

=-(z-6)2+9

所以当z=6时,x2+y2取最大值为9

注,x2,y2,z2表示x的平方,y的平方,z的平方的平方,(z-6)2表示(z-6)的平方

解：(1).因x+y=z-1,xy=z²-7z+14.故由韦达定理可知，x,y是关于a的一元二次方程a²-(z-1)a+(z²-7z+14)=0的两个实数根。故⊿=（z-1)²-4(z²-7z+14)≥0.===>11/3≤z≤5.(2)由x+y=z-1,xy=z²-7z+14.故x²+y²=(x+y)²-2xy=-z²+12z-27=-(z-6)²+9.数形结合可知，当z=5时，（x²+y²)max=8,当z=11/3时，(x²+y²)min=32/9.

X+Y=Z-1
(X+Y)^2=(Z-1)^2
X^2 + Y^2 + 2XY = Z^2 + 1 -2Z

因为XY = Z^2-7Z+14,

X^2 + Y^2 = -Z^2 + 12Z -27

Z=6, X^2 + Y^2 最大 = 9

Z如果没有上限，是一个孤行线，无止境。Z最小时,X^2+Y^2最小