六年级奥数问题

1、由x、z奇偶性不同，而z＝x^y＋1＞2，故z为奇质数，x为偶质数2
又2的奇数次方被3整除余2，也就是说，当y为奇质数时，2^y＋1是3的倍数
故x＝y＝2，从而z＝5

2、设这两个两位数为a、b，则有：a－b＝56且a^2－b^2＝100k(k为正整数)
∴56(a＋b)＝100k
即：14(a＋b)＝25k
∴k是14的倍数
又a＋b＞a－b＝56，且a＋b与a－b同奇偶性
故k必是14的偶数倍
当k＝14×4＝56时，a＋b＝100，而a－b＝56，可得a＝78，b＝22
当k≥14×6时，a＋b≥150，结合a－b＝56，可知a为三位数，不合题意
因此这两个数分别是78、22

3、显然：A＋B＋C＝A＋B＋2A＋5B＝3(A＋2B)是3的倍数
又A、B、C都是大于3的质数，它们被3整除的余数只能是1或2
由2A＋5B＝C知，A、B被3整除的余数不能不等，否则C≡2×1＋5×2≡0(mod3)或C≡2×2＋5×1≡0(mod3)，与C是质数矛盾
无论A、B被3整除都余1或都余2知A＋2B是3的倍数，从而3(A＋2B)是9的倍数
事实上，当A＝11、B＝5时，C＝47，此时A＋B＋C＝63
当A＝13、B＝7时，C＝61，此时A＋B＋C＝81
而63与81的最大公约数为9，故N的最大值为9

4、不妨设x≤y≤z，显然x＝1不符合题意
又x≤3，否则x≥4，从而1/x＋1/y＋1/z≤1/4＋1/4＋1/4＜4/5，不合题意
当x＝2时，原式为：1/2＋1/y＋1/z＝4/5，得：1/y＋1/z＝3/10
(3y－10)(3z－10)＝100
由于3y－10、3z－10被3整除余2，因此100只能化成两个被3整除余2的数的积，即：100＝2×50＝5×20
从而有3y－10＝2，3z－10＝50或3y－10＝5，3z－10＝20
得：x＝2，y＝4，z＝20或x＝2，y＝5，z＝10
当x＝3时，原式为：1/3＋1/y＋1/z＝4/5，得：1/y＋1/z＝7/15
(7y－15)(7z－15)＝225
由于7y－15、7z－15被7整除都余6，而225不能化成两个被7整除余6的数的积，因而该方程无正整数解
因此满足条件的x、y、z只有两组：x＝2，y＝4，z＝20或x＝2，y＝5，z＝10
当然，x、y、z是对称的，将每组解轮换可得到其它各组解

只是，这些题六年级学生做得了吗？

2 2 1

83 17

3

2 4 20

1,x的y次方奇偶性与x相同，x的y次方+1肯定是奇数，所以x是偶数，x=2
然后一组组试，2的2次方+1=5

2，22 78

3，A+B+C=A+B+2A+5B=3A+6B，所以N最大取值是3

4, 2，5，10

2题82和28
3题是2*13+5*7=61，所以7+13+61=91