解答：（Ⅰ）证明：由已知，当n≥2时，an+an+1=
①，an-1+an=4n+1 2
（n∈N+）．②，4n?3 2
①-②可得an+1-an-1=2，又a1=1，所以a1，a3，a5…a2n-1成等差数列．
所以数列{a2n-1}是以1为首项，2为公差的等差数列…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知n为奇数时an=n，则n为偶数时，an+an+1＝an+n+1＝
，4n+1 2
得an＝n?
，1 2
所以an＝
．…（8分）
n，n为奇数 n?
，n为偶数1 2
n为偶数时，Sn＝
=
[(a1+a2)+(an?1+an)]n 2 2
=n(
+5 2
)4n?3 2 4
2n2+n 4
n（n≥3）为奇数时，Sn=Sn-1+an=
+n=2(n?1)2+(n?1) 4
2n2+n+1 4
又
＝1＝S12+1+1 4
故Sn＝
..…（12分）
，n为奇数2n2+n+1 4
，n为偶数2n2+n 4
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