在同一高度，以同一速度抛出的质量规格相同的小球，怎么抛出能使水平位移最大？与竖直方向成多大角，请证

首先，抛出角指的是和水平方向的夹角，不是和竖直方向。
平抛时水平位移肯定不是最大的，而且使水平位移最大的抛出角（称作最优抛出角）是因高度的不同而不同的。当高度为零时（即抛出点跟落地点在同一高度），最优抛出角为沿斜上方45°。抛出点比落地点高时，最优抛出角小于45°，且高度越高，最优抛出角越小。反之，当高度为负（即抛出点低于落地点）时，最优抛出角大于45°，且落地点越高，最优抛出角越大。
高度为零的情况我能证出来，高度不为零的情况我也会证（因为这就是我们大学数学的一道例题），但是最后的方程需要用到大学数学的知识，所以我在这就不证了。如果实在想知道，可以来找我。

证明：设初速度为v（不变），抛出角为θ，水平位移为s(θ)
水平方向：s(θ)＝vtcosθ （1）
竖直方向：0＝vtsinθ－0.5gt²，得t＝2vsinθ/g
代入（1）式，有：s(θ)＝2v²sinθcosθ/g＝(v²/g)sin2θ，其中θ∈[0,0.5π]
∴当2θ＝0.5π，即θ＝0.25π时，s(θ)有最大值v²/g
∴当抛出角为45°时，水平位移最大，且最大水平位移为v²/g

如果不考虑斜上抛，那肯定是平抛水平位移最大。证明如下：
设初速度为v（不变），抛出点高度为h（不变），抛出角为θ，水平位移为s(θ)
水平方向：s(θ)＝vtcosθ （1）
竖直方向：h＝vtsinθ＋0.5gt²，得t＝[(v²sin²θ＋2gh)^0.5－vsinθ]/g
代入（1）式，有：s(θ)＝(v/g)cosθ[(v²sin²θ＋2gh)^0.5－vsinθ]，其中θ∈[0,0.5π]
构造函数f(θ)＝(v²sin²θ＋2gh)^0.5＋vsinθ
∵sinθ为[0,0.5π]上的增函数
∴f(θ)显然为[0,0.5π]上的增函数
构造函数g(θ)＝s(θ)·f(θ)
＝(v/g)cosθ[(v²sin²θ＋2gh)^0.5－vsinθ][(v²sin²θ＋2gh)^0.5＋vsinθ]
＝(v/g)cosθ[(v²sin²θ＋2gh)－v²sin²θ]
＝2vhcosθ
显然为[0.0.5π]上的减函数
∵减函数除以增函数必为减函数，f(θ)为增函数
∴s(θ)＝g(θ)/f(θ)为[0.0.5π]上的减函数
∴当θ＝0时，s(θ)有最大值
即平抛运动水平位移最大

其实这与算上斜上抛没有本质的差别，如果按常规方法计算最后也需要用到大学数学。但是由于你限定的定义域恰巧比较“好”，所以才能用分析单调性这极其特殊的方法。

（一）同样速度的情况下，不考虑空气阻力，从地面上是45°上斜抛时距离最远。

证明：
设初速度为v0,抛出角度与水平面成θ角斜向上。
就像平抛运动可以看做水平匀速运动和自由落体运动的合成一样，
我们可以将斜抛运动看做竖直上抛运动和匀速向前平移两个运动的合成。
现将初速度v0分解为竖直向上的初速度v0y和水平向前的初速度v0x
v0y=v0sinθ
v0x=v0cosθ

上升到最大高度(即竖直向上方向的速度减为零）所用的时间t1=v0y/g
从开始上抛到落回到原来高度所用时间t=2t1=2v0y/g=2v0sinθ/g

水平位移s=v0xt=(v0cosθ）*（2v0sinθ）=v0^2sin(2θ)/g
可以看出，在同样初速度v0的情况下，当2θ=90°即θ=45°时,sin(2θ）=1,s最大。

（二）同样速度的情况下，不考虑空气阻力，不考虑上斜抛，只考虑平抛和下斜抛，平抛时抛物距离最远。
证明：
设初速度为v0,抛出角度与水平面成θ角斜向下,抛出开始速度距地h。
就像平抛运动可以看做水平匀速运动和自由落体运动的合成一样，
我们可以将下斜抛运动看做竖直下抛运动和匀速向前平移两个运动的合成。
现将初速度v0分解为竖直向下的初速度v0y和水平向前的初速度v0x
v0y=v0sinθ
v0x=v0cosθ
由于下斜抛运动有一个向下的初速度v0y，所以下斜抛落地时间要短于平抛的落地时间，设平抛为t1，下斜抛为t2
则h=1/2gt1^2；h=v0t2+1/2gt2^2
1/2gt1^2= v0t2+1/2gt2^2
V0t2＞0
所以1/2gt1^2＞1/2gt2^2
所以t1＞t2
平抛时的水平位移s1=v0t1
下斜抛时的水平位移s2=v0cosθ*t2
由于：t1大于t2，并且v0＞v0cosθ
所以s1＞s2