解：（1）如图1所示：
（2）如图2，过点P做PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，连接PC、PE．
∵PD⊥AB，∴AD=BD=3．
∵OB=4，∴OD=OB-BD=1．
∴PE=OD=1．
设DP=x，则OE=PD=x．
在Rt△BPD中，BP2=x2+32．
在Rt△CEP中，CP2=（x+2）2+12．
∵BP=CP，
∴x2+32=（x+2）2+12．
解得：x=1．
∴点P坐标为（1，-1）．
（3）如图2，连接BP并延长到⊙P于一点Q1，连接CQ1，
则BQ1是直径，
∴∠Q1CB=90°，
又∵∠CAB=∠CQ1B，
∴△Q1BC∽△ACO，
此时连接AQ1则∠Q1AB=90°，
∴Q1横坐标为：-2，
∵AB=6，BQ1=2BP=2
，
10
∴AQ1=2，
∴Q1（-2，-2），
同理构造直角三角形CFQ2，
可得出：CF=6，CQ2=2
，
10
∴FQ2=2，FO=4，
则Q2（2，-4），
综上所述：）⊙P上存在一点Q（-2，-2），（2，-4），使得△QBC与△AOC相似．
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