证明极值定理的基本步骤为：
1.证明有界性定理.
2.寻找一个序列,它的像收敛于f的最小上界.
3.证明存在一个子序列,它收敛于定义域内的一个点.
4.用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界.
有界性定理的证明
假设函数f在区间[a,b]内没有上界.那么,根据实数的阿基米德原理,对于每一个自然数n,都存在[a,b]内的一个xn,使得f(xn) > n.这便定义了一个序列{xn}.由于[a,b]是有界的,根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理,可推出存在{xn}的一个收敛的子序列{x_{n_k}}.
把它的极限记为x.由于[a,b]是闭区间,它一定含有x.因为f在x处连续,我们知道{f(x_{n_k})}收敛于实数f(x).但对于所有的k,都有f(x_{n_k}) > nk ≥ k,这意味着{f(x_{n_k})}发散于无穷大.得出矛盾.因此,f在[a,b]内有上界.证毕.
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