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证明:当x→0时,f(x)与sinx-tanx为同阶无穷小，其中当x＝0时f(x)＝1，当x不等

0时f(x)＝x^3

2025-05-13 14:55:37

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回答1：

证明：先用洛必达法则：

lim(x→0)f(x)/(sinx-tanx)

=lim(x→0)x^3/(sinx-tanx)
=lim(x→0)3x^2/(cosx-sec^2x)
=lim(x→0)6x/(-sinx-2sec^2x tanx)
=lim(x→0)6x/[-sinx(1+2sec^2x /cosx)

再用等价无穷小：lim(x→0) sinx/x=1，替换得，

原极限=(-6)lim(x→0)1/(1+2sec^2x /cosx)
=-6/(1+2)
=-2

极限为不等0的常数，所是同阶无穷小。