191问答库 > 定义在R上的函数f（x）满足对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）

定义在R上的函数f（x）满足对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）

2025-05-19 22:21:08

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回答1：

（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．…（1分）
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）=0．∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．…（3分）
（2）任取x₁ ＜x₂ ，则x₂ -x₁ ＞0．∴由已知得f（x₂ -x₁ ）＜0．
∴f（x₁ ）-f（x₂ ）=f（x₁ ）+f（-x₂ ）=f（x₁ -x₂ ）=-f（x₂ -x₁ ）＞0．
∴f（x₁ ）＞f（x₂ ），∴f（x）在R上是减函数．…（6分）

∴当x∈[-3，3]时，f(3)≤f(x)≤f(-3)．

∵f（3）=f（2）+f（1）=3f（1）=-6，
∴ f(-3)=-f(3)=6.
∴当x∈[-3，3]时，f（x）_max =6，f（x）_min =-6．…（8分）
（3）不等式可化为：

f(b x 2 )-2f(x)＞f( b 2 x)-2f(b)．

而2f（x）=f（x）+f（x）=f（2x），
得

f(b x 2 )-f(2x)＞f( b 2 x)-f(2b)．

即

f(b x 2 -2x)＞f( b 2 x-2b)．

∵y=f（x）在R上是减函数，
∴ b x 2 -2x＜ b 2 x-2b，即bx² -（2+b² ）x+2b＜0…①…（10分）
当b＞

＞0时，①得(x-b)(x-

)＜0 ；
当b＞

时，

＜b ，此时解集为{ x|

＜x＜b }．…（12分）