解（1）∵函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R））是偶函数
∴f（-x）=log4（4-x+1）-kx）=log4（
）-kx=log4（4x+1）+kx（k∈R）恒成立1+4x
4x
∴-（k+1）=k，则k=?
．1 2
（2）g（x）=log4（a?2x-
a），4 3
函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即
方程f（x）=g（x）只有一个解
由已知得log4（4x+1）?
x=log4（a?2x-1 2
a），4 3
∴log4（
）=log4（a?2x-
4x+1 2x
a），4 3
方程等价于
，
a?2x?
a＞04 3
＝a?2x?
4x+1 2x
4a 3
设2x=t，t＞0，则（a-1）t2-
at-1=0有一解4 3
若a-1＞0，设h（t）=（a-1）t2-
at-1，4 3
∵h（0）=-1＜0，∴恰好有一正解
∴a＞1满足题意
若a-1=0，即a=1时，不满足题意
若a-1＜0，即a＜1时，由△＝(?
a)2+4(a?1)＝0，得a=-3或a=4 3
，3 4
当a=-3时，t=
满足题意1 2
当a=
时，t=-2（舍去）3 4
综上所述实数a的取值范围是{a|a＞1或a=-3}．
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