（1）∵f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
∴f（-x）=f（x）
即log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx
即log4（4x+1）-（k+1）x=log4（4x+1）+kx
即2k+1=0
∴k=?
证明：（2）由（1）得f（x）=log4（4x+1）?x
令y=log4（4x+1）-x
由于y=log4（4x+1）-x为减函数，且恒为正
故当b＞0时，y=log4（4x+1）-x-b有唯一的零点，此时函数y=f（x）的图象与直线y＝x+b有一个交点，
当b≤0时，y=log4（4x+1）-x-b没有零点，此时函数y=f（x）的图象与直线y＝x+b没有交点
故对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线y＝x+b最多只有一个交点；
（3）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点
即方程 log4(4x+1)?x＝log4(a?2x?a)有且只有一个实根
化简得：方程 2x+＝a?2x?a有且只有一个实根
令t=2x＞0，则方程 (a?1)t2?at?1＝0有且只有一个正根
①a＝1?t＝?，不合题意；
②△＝0?a＝或-3
若 a＝?t＝?，不合题意；若 a＝?3?t＝
③若一个正根和一个负根，则 ＜0，即a＞1时，满足题意．
所以实数a的取值范围为{a|a＞1或a=-3}
