解答：（1）证明：∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，即BD⊥AC，
∵BA=BC，
∴AD=CD，即D点为AC的中点，
∵点O为BC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AB，
而DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）证明：∵BA=BC，BD⊥AC，
∴BD平分∠ABC，
∴DE=DF，
∵∠ADE+∠BDE=90°，∠BDE+∠BDO=90°，
∴∠ADE=∠BDO，
而OB=OD，
∴∠BDO=∠OBD，
∴∠ADE=∠OBD，
∴Rt△AED∽Rt△DFB，
∴DE：BF=AE：DF，
∴DE：BF=AE：DE，
∴DE2=BF?AE；
（3）解：∵∠A=∠C，
∴cosA=cosC=
，2 3
在Rt△CDF中，cosC=
=CF DC
，2 3
设CF=2x，则DC=3x，
∴DF=
=
DC2-CF2
x，
5
而DF=3
，
5
∴
x=3
5
，解得x=3，
5
∴DC=9，
在Rt△CBD中，cosC=
=DC BC
，2 3
∴BC=
×9=3 2
，27 2
即⊙O的直径为
．27 2
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