已知数列{an}满足a1=1，且5an+1-2anan+1+3an=8（m∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4的值；（Ⅱ）猜想{an}的通项

2025-05-21 03:21:49

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回答1：

（Ⅰ）∵a₁=1，5a_n+1-2a_na_n+1+3a_n=8，
∴5a₂-2a₁a₂+3a₁=8，
∴3a₂=5，
∴a₂=

．
同理可得，a₃=

，a₄=

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想，a_n=

4n?3

2n?1

，（n∈N^*）
（Ⅱ）证明：当n=1时，a₁=1，等式成立；
假设n=k时，a_k=

4k?3

2k?1

，
则n=k+1时，由5a_k+1-2a_ka_k+1+3a_k=8得：
a_k+1=

8?3ak

5?2ak

8?3×

4k?3

2k?1

5?2×

4k?3

2k?1

8(2k?1)?12k+9

5(2k?1)?8k+6

4k+1

2k+1

4(k+1)?3

2(k+1)?1

，
即n=k+1时，等式也成立；
综上所述，对任意n∈N^*，a_n=

4n?3

2n?1

．