（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）连接BC交OD于G，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴cos∠BAC=
=4 5
，AC AB
设AC=4a，AB=5a，由勾股定理得：BC=3a，
∴OA=OD=OB=2.5a，
∵∠ECG=90°=∠DEC=∠EDG，
∴四边形ECGD是矩形，
∵OG为△ABC中位线，
∴G为BC中点
∴DE=CG=1.5a，
∵OD∥AE，OA=OB，
∴CG=BG，
∴OG=
AC=2a，1 2
∴DG=EC=2.5a-2a=0.5a，
∴AE=AC+CE=4a+0.5a=4.5a，
∵OD∥AC，
∴△AEF∽△DOF，
∴
=DF AF
=OD AE
．5 9
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