191问答库 > 如图，直线y=-x+b与双曲线y= 1 x （x＞0）交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于E、F两点，连接OA

如图，直线y=-x+b与双曲线y= 1 x （x＞0）交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于E、F两点，连接OA

2025-05-15 14:15:37

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回答1：

①令y=0，则-x+b=0，
解得x=b，
令x=0，则y=b，
所以，点E（b，0）、F（0，b），
所以，OE=OF=b，
∴△OEF是等腰直角三角形，

∴∠OEA=45°，
作AN⊥OE于N，
∴AN=NE，△ANE ∽ △FOE，
∴

．
过点O作OM⊥AB于点M，则ME=MF，
设点A（x₁ ，y₁ ）、B（x₂ ，y₂ ），
∵

y=-x+b

，
消去y得，x² -bx+1=0，
根据根与系数的关系，x₁ ?x₂ =1，
所以y₁ ?y₂ =1，
所以y₁ =x₂ ，y₂ =x₁ ，
所以OA=OB，
所以AM=BM（等腰三角形三线合一），
∵S_△AOB =S_△OBF +S_△OAE ，
∴FB=BM=AM=AE，
∴S_△AOE =S_△AOM =S_△MOB =S_△BOF .

．
∴S_△OBF +S_△OAE =

S_△OEF ，
②∵

，
∴

，
∴EN=

b，
∴AN=

b，
∴ON=

b，
∴A（

b，

b），
∵点A在双曲线y=

上，
∴

b×

b=1，
解得b=

，
故答案为：

，

．