证明不等式n!<((n+2)⼀根号6)^n.

这个应该考虑数学归纳法来证明了。

当n=2时，
右边=(4/√6)^2=8/3.
左边=2.
右边>左边，成立。

1、假设当n=k时，[(k+2)/√6]^k>k! 成立。
2、当n=k+1时，则有：
最终要得到的是：[(k+3)/√6]^（k+1）>（k+1）!
即需要证明：[(k+3)/√6]^（k+1）>（k+1）[(k+2)/√6]^k。
将此不等式变形得到：
（k+3)^(k+1)/[(k+1)(k+2)^k]>√6
左边分母利用放缩法得到：
左边>（k+3)^(k+1)/[(k+1)(k+2)^k]>（k+3)^(k+1)/(k+1)^(k+1)=[1+2/(1+k)]^(1+k)
其最小值当k趋近无穷大时得到，利用重要不等式公式有：
左边>e^2>√6,
则有不等式[(k+3)/√6]^（k+1）>（k+1）[(k+2)/√6]^k。
进一步有：（k+1）[(k+2)/√6]^k>(k+1)*k!=(k+1)!.
所以有：[(k+3)/√6]^（k+1）>（k+1）!
故得证。

wangwei781999证错了，且用到了高等数学的知识，不过思路很好，我补充一下：
依旧用数学归纳法
当n=1时显然成立
假设当n=k时，[(k+2)/√6]^k>k! 成立，要证n=k+1时原不等式成立(即证[(k+3)/√6]^(k+1)>(k+1)!)，只需证[(k+3)/√6]^(k+1)/[(k+2)/√6]^k＞k+1，整理后只需证(k+3)^(k+1)/[(k+1)(k+2)^k]>√6
为方便起见，令t=k+1≥2，则只需证(t+2)^t/[t(t+1)^(t-1)]>√6，即证[(t+1)/t][1+1/(t+1)]^t>√6
而[1+1/(t+1)]^t≥C(t,0)+C(t,1)[1/(t+1)]+C(t,2)[1/(t+1)]²=1+t/(t+1)+t(t-1)/[2(t+1)²]=(5t²+5t+2)/[2(t+1)²]
所以[(t+1)/t][1+1/(t+1)]^t≥[(t+1)/t]{(5t²+5t+2)/[2(t+1)²]}=(5t²+5t+2)/(2t²+2t)＞5/2＞√6
于是n=k+1时原不等式成立
即n!<((n+2)/根号6)^n对任意正整数都成立

看图