一道高二数学题

数学归纳法
1.n=2时，a^2-b^2=(a+b)(a-b),显然成立
2.假设n=2k时成立
即a^(2k)-b^(2k)能被a+b整除
则n=2k+2时
a^(2k+2)-b^(2k+2)
=a^2*[a^(2k)-b^(2k)]+a^2*b^(2k)-b^(2k+2)
=a^2*[a^(2k)-b^(2k)]+b^(2k)(a+b)(a-b)
显然，a^(2k)-b^(2k)和(a+b)(a-b)能被a+b整除
故a^2*[a^(2k)-b^(2k)]+b^(2k)(a+b)(a-b)能被a+b整除
综上，对任意偶数n，恒有a^n-b^n能被a+b整除

A.假设n=k时命题成立,再证n=k+1时命题也成立

B.假设n=2k时命题成立,再证n=2k+1时命题也成立

C.假设n=k时命题成立,再证n=k+2时命题也成立

D.假设n=2k时命题成立,再证n=2(k+1)时命题也成立

解析：由于要证命题是对偶数成立的,所以应假设n为偶数,并递推下一个相邻偶数使命题成立,故只有D正确.

答案：D

这位兄弟这是选择题么 答案显然是B了 理由如下：
题设是“对任意偶数n，(a^n)-(b^n)能被a+b整除”，请理解好题意，n是任意偶数，而不是任意整数，A选项“假设n＝k时成立”这句话把题设放大了，事实上这个假设是不会成立的如：a^3-b^3=(a-b)*(a^2+ab+b^2),这个显然是不能保证其可以被a+b整除的，归纳法便无法继续，当然了你会问如果条件放大后成立可以这样证明么，那我问你既然宽松条件可以成立，为什么题设要约定为强约束条件呢，再由照数学证明上的严谨原则，即便可以成立也是十分不雅观的，都会有损证明的连贯严谨性，给人以跑火车之感

A改为假设n＝k时成立，再证n＝k+1时成立 或者分别讨论当k为奇数时 再证n＝k+2时成立
分别讨论当k为偶数时 再证n＝k+2时成立就对了
因为如果证明k成立 再证k+2成立 等于只证明了一种情况 k与k+2同为奇数或偶数

A的错误在于没有指明K为偶数，仅此而已，实际完全可以。