已知函数f（x）=（a+bx）en，a，b为常数，a≠0．（Ⅰ）若a=2，b=1，求函数f（x）在（0，+∞）上的单调区

（Ⅰ）f′（x）=（a+

b

x

?

b

x2

)exe^x=（ax²+bx-b）

ex

x2

…1分
当a=2，b=1时，f′（x）=（2x²+x-1）

ex

x2

=（x+1）（2x-1）

ex

x2

…2分
令f′（x）=0，得x=

1

2

或x=-1（舍去）…3分
因为

ex

x2

＞0，所以当x∈（0，

1

2

）时，f′（x）＜0，
f（x）是减函数…4分
当x∈（

1

2

，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
所以函数f（x）的单调递减区间为（0，

1

2

）；
单调递增区间为（

1

2

，+∞）…5分
（Ⅱ）令g（x）=ax²+bx-b．
因为a＞0，b＞0，所以二次函数g（x）的图象开口向上，
对称轴x=-

b

2a

＜0，且g（1）=a＞0，…7分
所以g（x）＞0对一切x∈[1，2]恒成立，
又因为

ex

x2

＞0，所以f′（x）＞0对一切x∈[1，2]恒成立，…8分
所以f（x）在x∈[1，2]上为增函数，
故f（x）_max=f（1）=（a+b）e…10分
（Ⅲ）若a=1，b=-2时，不等式f（x）≤lnx?e^x恒成立，
化简得：（1-

2

x

)ex≤lnx?exe^x≤lnx?e^x，即lnx≥1-

2

x

恒成立，…11分
令x=n（n+1），则ln[n（n+1）]＞1-

2

n(n+1)

，
∴ln（1×2）＞1-

2

1×2

，ln（2×3）＞1-

2

2×3

，ln（3×4）＞1-

2

3×4

，…，
ln[n（n+1）]＞1-

2

n(n+1)

，…12分
叠加得ln[1×2²×3²×…×n²（n+1）]＞n-2[