191问答库 > 已知a，b为正整数，且满足 a+b a 2 +ab+ b 2 = 4 49 ，求a+b的值

已知a，b为正整数，且满足 a+b a 2 +ab+ b 2 = 4 49 ，求a+b的值

已知a，b为正整数，且满足 a+b a 2 +ab+ b 2 = 4 49 ，求a+b的值．

2025-05-17 03:05:13

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回答1：

由49（a+b）=4（a² +ab+b² ）及a，b都是正整数，
故存在正整数k，使a+b=4k①
从而a² +ab+b² =49k，
即（a+b）² -ab=49k，故ab=16k² -49k②
从而a，b是关于x的方程
x² -4kx+（16k² -49k）=0③（此也可视作把①代入②，整理成关于a的类似③的方程）
得两个正整数根．
由△=16k² -4（16k² -49k）≥0，
得0≤k≤

，
∵k为正整数∴k=1，2，3，4．容易验证，
当k=1，2，3时，方程③均无正整数根；
当k=4时，方程③为x² -16x+60=0，
解得x₁ =10，x₂ =6．
故a+b=4k=16．