191问答库 > 已知函数f（x）=mx 3 -3（m+1）x 2 +（3m+6）x+1，其中m∈R，m＜0，（1）若m=-2，求y=f（x）在（2，-3）

已知函数f（x）=mx 3 -3（m+1）x 2 +（3m+6）x+1，其中m∈R，m＜0，（1）若m=-2，求y=f（x）在（2，-3）

2025-05-19 20:46:13

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回答1：

（1）m=-2时，f（x）=-2x³ +3x² +1，
∴f′（x）=-6x² +6x，
∴y=f（x）在（2，-3）处的切线方程的斜率k=f′（2）=-12，
y=f（x）在（2，-3）处的切线方程为y+3=-12（x-2），
即12x+y-21=0．…5分
（2）∵f（x）=mx³ -3（m+1）x² +（3m+6）x+1，其中m∈R，m＜0，
∴f′（x）=3mx² -6（m+1）x+3m+6，
∵当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，
∴f′（x）＞3m，即mx² -2（m+1）x+2＞0．…6分
又m＜0
所以 x 2 -

(m+1)x+

＜0
即 x 2 -

(m+1)x+

＜0，x∈[-1，1]
①设 g(x)= x 2 -2(1+

)x+

，
其函数开口向上，由题意知①式恒成立，…8分
所以

g(-1)＜0

g(1)＜0

1+2+

＜0

-1＜0

，
解之得 -

＜m ，又m＜0，…11分
所以 -

＜m＜0 ，
即m的取值范围为 (-

，0) ．…12分