大一高数，证明过程，谢谢

2025-05-17 11:34:21

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回答1：

证明：
∵数列{Xn}有界，因此：
∀ Xn∈{Xn}，∃ M>0，当 n>N1时（N1∈N），
∴|Xn|≤ M成立
又∵lim(n→∞) Yn = 0
∴∀ ε' >0，∃ N2∈N，当 n>N2时，必有：
|Yn- 0| < ε'成立
即：|Yn|< ε'
显然：
|Xn|·|Yn| < ε'M 成立，此时n=max{N1,N2}
令ε=ε'M，则：
∀ ε>0
|Xn|·|Yn| = |XnYn| < ε 恒成立
∴必有：
lim(n→∞) XnYn =0

举例：
Xn = x^(n) Yn = 1/x^(2n) ,其中x>1
lim XnYn =0
lim Xn ≠0

回答2：

因为{Yn}有界，所以，存在M>0，成立|Yn|《M。
对任给的d>0，
因为Xn→0，所以，针对d/M>0，必存在N>0，
使得当n>N时，成立|Xn-0|=|Xn|则此时成立|XnYn-0|=|Xn||Yn|《Md/M=d。
证毕。
举例，Xn=1-(-1)^n，Yn=1+(-1)^n。