191问答库 > 若x,y为正实数，且x+y=4,求根号下x的平方+1与根号下y的平方+4的和的最小值.

若x,y为正实数，且x+y=4,求根号下x的平方+1与根号下y的平方+4的和的最小值.

用初中数学方法解答，要详细过程

2025-05-18 03:27:29

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回答1：

√(x^2+1)+√(y^2+4)
=√(x^2+1)+√[(x-4)^2+4]
=√[(x-0)^2+(0-1)^2]+√[(x-4)^2+(0-2)^2]

设A(0,1) B(4,2) A‘(0,-1) M(x,0) (0则原式=|AM|+|BM|
=|A'M|+|BM|
>=|A'B|
=√[(0-4)^2+(-1-2)^2]
=5
当且仅当A'、M和B三点共线时等号成立

回答2：

①数形结合法√(x^2+1)+√(y^2+4)=√(x^2+1)+√[(x-4)^2+4]相当于(x,0)到(0,1)和(4,2)两点的距离和其最小值相当于(0,-1)到(4,2)的距离=5②利用三角不等式√(x^2+1)+√(y^2+4)=√(x^2+1)+√[(x-4)^2+4]>=√[(x-x+4)^2+(-1-2)^2]=5