（Ⅰ）f′(x)＝
?m1 x+1
∵x＞0时，0＜
＜11 x+1
∴m≤0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增
∴m≥1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减
∴m的取值范围为（-∞，0]∪[1，+∞）单调函数；
（Ⅱ）①当m≤0时，f'（x）＞0，f（x）为定义域上的增函数，
∴f（x）没有极值；
②当m＞0时，由f'（x）＞0得?1＜x＜
?1；1 m
由f'（x）＜0得x＞
?1∴f(x)在(?1，1 m
?1)上单调递增，(1 m
?1，+∞)上单调递减．1 m
故当x＝
?1时，f（x）有极大值f(1 m
?1)＝m?1?lnm，但无极小值．1 m
（Ⅲ）由（Ⅰ）知m=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减
∴f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x（x＞0），
令x＝
，得ln(1+1 k+1
)＜1 k+1
1 k+1
所以
+1 n+1
++1 n+2
＞ln1 n+(n+1)
+lnn+2 n+1
++lnn+3 n+2
=ln2n+2 2n+1
＝ln2．2n+2 n+1
所以an＞ln2．
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