已知x>;0,y>0，且1⼀x+9⼀y=1,求x+y的最小值

2025-05-14 08:00:00

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回答1：

1/x
+
9/y
=
1
两边乘以xy
得到
y
+
9x
=
xy
=>
xy
-9x
-y
=0
=>
x(y-9)-y+9
=
9
=>
(x-1)(y-9)
=
9
两个数的乘积是定值，所以当它们相等的时候和最小
所以当
x-1
=
y-9
=3的时候
x-1
+
y
-9
最小，也就是x+y这时候最小。
所以
x=
4
,
y=12的时候
x+y值为16是最小的

回答2：

令（x+y）*(1/x+9/Y)=1+9+y/x+9x/y
=10(9x/y+y/x)
≥10+2*3
≥16
所以最小值为16
或根据1/x+9/y=1
用含X的式子表示Y
代入X+Y
这里第一种解法是“1的妙用”第二种解法是常规的