(=>) A^TA 正定若 r(A)则Ax=0 有非零解X则 X^TA^TAX = (AX)^T(AX)=0这与A^TA正定矛盾(<=)因为r(A)=n则对任一非零向量X有 AX≠0所以 X^TA^TAX = (AX)^T(AX) > 0所以 A^TA 正定.
