由于二元函数z=f（x，y）在点（x，y）处的全增量
△z=f（x+△x，y+△y）-f（x，y）=[f（x+△x，y+△y）-f（x，y+△y）]+[f（x，y+△y）-f（x，y）]…①
①式第一个函数可以看成是x的一元函数f（x，y+△y）的增量，应用拉格朗日中值定理，得
f（x+△x，y+△y）-f（x，y+△y）=fx（x+θ1△x，y+△y）△x，其中0＜θ1＜1
又由于fx（x，y）在点（x，y）处连续，因此上式可写为
f（x+△x，y+△y）-f（x，y+△y）=fx（x，y）△x+α△x…②
其中α为△x和△y的函数，且△x和△y趋于0时，α趋于0
同理，①式的第二函数也可以写成
f（x，y+△y）-f（x，y）=fy（x，y）△y+β△y…③
其中β为△x和△y的函数，且△x和△y趋于0时，β趋于0
由②和③式，可知
△z=fx（x，y）△x+fy（x，y）△y+α△x+β△y
即
| △z?[fx(x，y)△x+fy(x，y)△y] |
| ρ |
＝
＝0
即z=f（x，y）在该点可微
但函数z=z（x，y）在点（x0，y0）处可微其一阶偏导数不一定连续
如f(x，y)＝
|
| (x2+y2)sin
|
，(x，y)≠(0，0) |
| 0 |
，(x，y)＝(0，0) |
|
|
容易求得，fx（0，0）=fy（0，0）=0
且（x，y）≠（0，0）时，
fx(x，y)＝2xsin?cos
fy(x，y)＝2ysin?cos
由于
=ρsin＝0
故f（x，y）在（0，0）可微
而
cos和
cos都不存在，
因此，
fx(x，y)和
fy(x，y)不存在
即一阶偏导数在（0，0）不连续
故二元函数z=f（x，y）的两个偏导数，在点（x，y）处连续是z=f（x，y）在该点可微的充分条件．
