191问答库 > 设A,B是R^n中两个不交的闭集，且其中一个是紧集，求证它们之间距离满足d(A,B)=inf⼀X-Y⼀＞0,

设A,B是R^n中两个不交的闭集，且其中一个是紧集，求证它们之间距离满足d(A,B)=inf⼀X-Y⼀＞0,

并举例说明两个不交闭集的举距离可能是0

2025-05-13 16:00:48

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回答1：

不妨设A是紧集.
假设inf{|X,Y|} = 0, 则存在A中点列X(1), X(2),..., 与B中点列Y(1), Y(2),..., 满足|X(k)-Y(k)| < 1/k.
由A为紧集, 点列X(1), X(2),..., 存在收敛子列, 设子列X(n(1)), X(n(2)),..., 收敛到a∈A.
取Y(1), Y(2),..., 中的对应项Y(n(1)), Y(n(2)),..., 有|X(n(k))-Y(n(k))| < 1/n(k) ≤ 1/k.
于是|Y(n(k))-a| ≤ |Y(n(k))-X(n(k))|+|X(n(k))-a| < 1/k+|X(n(k))-a|趋于0.
即点列Y(n(1)), Y(n(2)),..., 也收敛到a, 但B是闭集, 可得a∈B, 与A, B不交矛盾.
因此当不交闭集A, B中有至少一个是紧集, 有d(A,B) = inf{|X-Y|} > 0.

R²中双曲线xy = 1与y = 0是不交的闭集, 但二者距离为0.