已知：如图，在rt△abc中，∠acb=90°，点d为ab的中点，be⊥cd，垂足为点f，be交ac于e，ce=1cm，ae=3cm

证明：

∵△ABC是直角三角形，D是AB中点

∴AD=BD=CD

∴∠DCB=∠DBC

又BE⊥CD

∴∠CEB=90°-∠ECF=∠ECB-∠ECF=∠DCB=∠ABC

又∠ACB=∠BCE

∴△ECB∽△BCA

∴CE/BC=BC/AC

∴BC²=CE*AC=1*4

∴BC=2

根据勾股定理可知AB=2根号下5

∵D是Rt△ABC斜边AB的中点
∴CD=AD
∴∠A=∠ACD=∠ECF
∵∠ECB=∠ACB=90°
BE⊥CD即∠CFE=∠ECB=90°
∠CEF=∠CEB
∴△CEF∽△BEC
∴∠ECF=∠CBE=∠A
在RT△ECB和Rt△BCA中
∠CBE=∠A
∴RT△ECB∽Rt△BCA
∴CE/BC=BC/AC
BC²=CE×AC=CE×(CE+AE)=1×(1+3)=4
AC²=(1+3)²=16
∴AB²=AC²+BC²=16+4=20
AB=2√5

两个三角形共直角90度，
cd=bd 所以rt三角形fec和rt三角形bfc中 所以 两个角对应相等，即相似
ec:cb=cb:ac-->cb=2
所以ab=二倍的根号五

1.证明：点d为ab的中点
∴ad=da=cd
即∠a=∠ecf,
be⊥cd
∠a+∠abc=∠ecf+∠ceb=90
∠ceb=∠abc
∠a=∠cbe
△ceb∽△cba

2.
△ceb∽△cba, ac=1+3=4
ce/cb=cb/ca
cb²=4, cb=2
ab=√cb²+ca²=2√5

∵Rt△ACB,D是AB中点

∴AD=DC=DB

∴∠1=∠ABC

∵BE⊥CD

∴∠2+∠3=90°

∵∠1+∠3=90°

∴∠1=∠2

∴∠1=∠ABC

又∵∠BCE=∠ACB=90°

∴△ECB相似于△BCA

∴BC/AC=EC/BC

∴BC/(1+3)=1/BC

∴BC=2

在Rt△ACB中，有

AB=√(AC^2+BC^2)=2√5 cm