您好，MIUI4.0系统是不支持QQ2011版本的。
关于您说的自由桌面QQ无法后台挂机，请问您不使用自由桌面的时候是否可以使用？如果只有在使用自由桌面的时候无法后台挂机，您试试：
1.请您进入系统设置-应用程序-该软件-清除数据，卸载该软件，开机后进入应用超市重新下载安装该软件试试。
2.如果不能正常使用，请您备份数据，进入recovery清除用户数据。
3.如果仍不能正常使用，建议您备份数据，进入recovery清除所有数据（关机，按住音量上+开机键进入recovery），线刷将手机升级到最新的开发版系统，暂时不要安装需要root权限的应用程序，查看是否可以恢复正常。
感谢您的支持，祝您生活愉快！
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