解方程组{x－y+z=1 y－z+u=2 z－u+w=3 u－w+x=4 w－x+y=5

解：（1）+（2）+（3）+（4）+（5），得：
x+y+z+u+w=1+2+3+4+5，即：x+y+z+u+w=15…………（6）
（1）+（2），得：x+u=3…………………………………………（7）
（2）+（3），得：y+w=5…………………………………………（8）
（6）-（7）-（8），得：z=7
（3）+（4），得：z+x=7…………………………………………（9）
将z=7代入（9）中，则有：7+x=7，解得：x=0
将x=0代入（7）中，则有：0+u=3，解得：u=3
（4）+（5），得：u+y=9……………………………………………（10）
将u=3代入（10）中，则有：3+y=9，解得：y=6
将y=6代入（8）中，则有：6+w=5，解得：w=-1
故x=0，y=6，z=7，u=3，w=-1

分析注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：
①+②得x+u=3，⑥
②+③得y+v=5，⑦
③+④得z+x=7，⑧
④+⑤得u+y=9．⑨
又①+②+③+④+⑤得x+y+z+u+v=15．⑩
由⑩-⑥-⑦得z=7，
把z=7代入⑧得x=0，
把x=0代入⑥得u=3，
把u=3代入⑨得y=6，
把y=6代入⑦得v=-1．
∴

x=0
y=6
z=7
u=3
v=-1

为原方程组的解．