191问答库 > 已知xyz均为正数,求证1.732⼀3(1⼀x+1⼀y+1⼀z)<=1⼀x^2+1⼀y^2+1⼀z^2

已知xyz均为正数,求证1.732⼀3(1⼀x+1⼀y+1⼀z)<=1⼀x^2+1⼀y^2+1⼀z^2

2025-05-19 17:37:38

推荐回答（2个）

回答1：

如果你没有在右边少打一个根号，那么这个命题是错误的.比如x=y=z=10，那么左边=(3^1/2)/10>右边=3/100.

如果右边少打了一个根号的话,由幂平均不等式即证.

（有关幂平均不等式，请查阅百度百科）.

证明:

回答2：

1.732是根号3吧？
由(1/x-1/y)^2+(1/y-1/z)^2+(1/z-1/x)^2 ≥ 0,
展开即得2(1/x^2+1/y^2+1/z^2) ≥ 2/(xy)+2/(yz)+2/(zx).
于是3(1/x^2+1/y^2+1/z^2) ≥ 1/x^2+1/y^2+1/z^2+2/(xy)+2/(yz)+2/(zx) = (1/x+1/y+1/z)v,
即有1/3·(1/x+1/y+1/z)^2 ≤ 1/x^2+1/y^2+1/z^2.
开方得√3/3·(1/x+1/y+1/z) ≤ √(1/x^2+1/y^2+1/z^2).