191问答库 > 若f(x)在(负无穷，0)并上(0，正无穷)上为奇函数，且在(0，正无穷)上是增函数，f(-2)=0，则不等式x·f(x)

若f(x)在(负无穷，0)并上(0，正无穷)上为奇函数，且在(0，正无穷)上是增函数，f(-2)=0，则不等式x·f(x)

2025-05-14 11:09:55

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回答1：

PSSS:平时做题时，我们默认奇函数在对称区间内同增同减，但本题中是要求证明的

设x1,x2∈(0,∞),且x1＜x2,则-∞＜-x2＜-x1＜0
∵f(x)在区间（0，∞）上单调递减，
∴f(x2)-f(x1)＜0
又∵f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x)
∴f(-x1)-f(-x2)=-f(x1)+f(x2)＞0
∴奇函数f(x)在区间(-∞,0)单调递减
进而f(x)在R上为增函数（以下会用到）
f(-2)=0
∵f(x)是增函数，∴-2f(-2)=0；x<-2时，f(x)1.当x<0, 要满足xf(x)<0 须f(x)>0 ，此时-2
2.当x>0，f(2)=-f(-2)=0
0x>2,则f(x)>f(2)=0，即f(x)>0,时xf(x)>0不符合，舍去

综上所述：x∈(-2,0)∪(0,2)