191问答库 > 已知x、y、z是正实数，x+y+z=1 求证1⼀（1+x^2)+1⼀（1+y^2)+1⼀（1+z^2)<=27⼀10

已知x、y、z是正实数，x+y+z=1 求证1⼀（1+x^2)+1⼀（1+y^2)+1⼀（1+z^2)<=27⼀10

2025-05-16 11:22:43

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回答1：

由柯西不等式得：（1+1+1)(x^2+y^2+z^2)>=(x+y+z)^2=1 3(x^2+y^2+z^2)>=1 x^2+y^2+z^2>=1/3 所以 x^2>=1/9 ;y^2>=1/9 ;z^2>=1/9 所以 1/ (1+x^2)<=1/(1+1/9)=9/10 1/ (1+y^2)<=1/(1+1/9)=9/10 1/ (1+z^2)<=1/(1+1/9)=9/10三式相加即; 1/(1+x^2)+1/(1+y^2)+1/(1+z^2)<=27/10如果有什么不懂的，欢迎追问
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