191问答库 > 已知x>0,y>0,x+y=1,求证(√x+√y)(1⼀√(1+x)+1⼀√(1+y))<=(4⼀√3)

已知x>0,y>0,x+y=1,求证(√x+√y)(1⼀√(1+x)+1⼀√(1+y))<=(4⼀√3)

急!!!!!!

2025-05-18 01:07:34

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回答1：

(√x+√y)(1/√(1+x)+1/√(1+y))<=(4/√3)
两边平方得
（x+y+2√xy)[1/(1+x)+1/(1+y)+2/√(1+x)(1+y)]≤16/3
在根据基本不等式x+y>=2√xy
所以1/(1+x)+1/(1+y)>=2/√(1+x)(1+y)≤16/3
把小的替换大的不等号方向不改变所以原式可化为
4/√xy*4/√(1+y)(1+x)≤16/3
展开后得16√xy/√(2+xy)
又因为x+y=1≥2√xy

xy<=1/4
8xy<=2替换上面的2
代到上面的得
16√xy/√9xy<=16/3

因为证明过程都是用小的式子代替大的式子所以不等号方向不变