191问答库 > 如图，已知斜三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AB=AC，D为BC的中点．（1）若平面ABC⊥平面BCC 1 B 1 ，求证：AD

如图，已知斜三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AB=AC，D为BC的中点．（1）若平面ABC⊥平面BCC 1 B 1 ，求证：AD

2025-05-13 17:13:59

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回答1：

（本小题满分14分）
证明：（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．
因为平面ABC⊥平面BCC₁ B₁ ，平面ABC∩平面BCC₁ B₁ =BC，AD?平面ABC，
所以AD⊥平面BCC₁ B₁ ．                                  …（5分）
因为DC₁ ?平面BCC₁ B₁ ，所以AD⊥DC₁ ．                   …（7分）
（2）（证法一）
连接A₁ C，交AC₁ 于点O，连接OD，则O为A₁ C的中点．
因为D为BC的中点，所以OD ∥ A₁ B．                     …（11分）

因为OD?平面ADC₁ ，A₁ B?平面ADC₁ ，
所以A₁ B ∥ 平面ADC₁ ． …（14分）
（证法二）
取B₁ C₁ 的中点D₁ ，连接A₁ D₁ ，DD₁ ，D₁ B．则D₁ C₁

∥

BD．
所以四边形BDC₁ D₁ 是平行四边形．所以D₁ B ∥ C₁ D．
因为C₁ D?平面ADC₁ ，D₁ B?平面ADC₁ ，

所以D₁ B ∥ 平面ADC₁ ．
同理可证A₁ D₁ ∥ 平面ADC₁ ．
因为A₁ D_1? 平面A₁ BD₁ ，D₁ B?平面A₁ BD₁ ，A₁ D₁ ∩D₁ B=D₁ ，
所以平面A₁ BD₁ ∥ 平面ADC₁ ． …（11分）
因为A₁ B?平面A₁ BD₁ ，所以A₁ B ∥ 平面ADC₁ ． …（14分）