[高数]极限与无穷级数

1、3开n方的极限就是1！

此题可以使用夹逼准则：1≤2＋(-1)^n≤3，所以1≤[2＋(-1)^n]^(1/n)≤3^(1/n)

n→∞时，3^(1/n)→1，所以[2＋(-1)^n]^(1/n)→1，从而原极限是1/2

2、n→∞时，1－cos(π/n)等价于1/2×(π/n)^2＝π^2/2×1/n^2，所以
√(n+1)×[1-cos(∏/n)]与1/n^(3/2)同阶，
使用比较判别法时，与1/n^(3/2)比较即可

3、若Un≥0，则Vn＝un≥0，若Un＜0，则Vn＝0，所以Vn≥0
因为Un≤|Un|，所以Vn≤1/2×2|Un|＝Un

综上，0≤Vn≤|Un| 1、3开n方的极限就是1！

此题可以使用夹逼准则：1≤2＋(-1)^n≤3，所以1≤[2＋(-1)^n]^(1/n)≤3^(1/n)

n→∞时，3^(1/n)→1，所以[2＋(-1)^n]^(1/n)→1，从而原极限是1/2

2、n→∞时，1－cos(π/n)等价于1/2×(π/n)^2＝π^2/2×1/n^2，所以
√(n+1)×[1-cos(∏/n)]与1/n^(3/2)同阶，
使用比较判别法时，与1/n^(3/2)比较即可

3、若Un≥0，则Vn＝un≥0，若Un＜0，则Vn＝0，所以Vn≥0
因为Un≤|Un|，所以Vn≤1/2×2|Un|＝jUn
希望你能理解

1、3开n方的极限就是1！

此题可以使用夹逼准则：1≤2＋(-1)^n≤3，所以1≤[2＋(-1)^n]^(1/n)≤3^(1/n)

n→∞时，3^(1/n)→1，所以[2＋(-1)^n]^(1/n)→1，从而原极限是1/2

2、n→∞时，1－cos(π/n)等价于1/2×(π/n)^2＝π^2/2×1/n^2，所以
√(n+1)×[1-cos(∏/n)]与1/n^(3/2)同阶，
使用比较判别法时，与1/n^(3/2)比较即可

3、若Un≥0，则Vn＝un≥0，若Un＜0，则Vn＝0，所以Vn≥0
因为Un≤|Un|，所以Vn≤1/2×2|Un|＝Un

综上，0≤Vn≤|Un|

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9.6补充：
1、π^2/2×1/n^2与1/n^(3/2)为什么同阶？何来这个结论？说的是
√(n+1)×[1－cos(π/n)]与1/n^(3/2)同阶.

因为√(n+1)×[1-cos(∏/n)]等价于√(n+1)×π^2/2×1/n^2＝π^2/2×√(n+1)/√n×1/n^(3/2)，前面部分的极限是非零常数π^2/2，所以它与1/n^(3/2)同阶，也就是说当√(n+1)×[1-cos(∏/n)]与1/n^(3/2)使用比较法的极限形式时，结果是π^2/2

2、关于调和级数，S2n－Sn＝1/2 ？ 应该是：S2n－Sn ＞ 1/2

（1 ）n→∞时，3^(1/n)→1

（2 ）1－cos(π/n)=2×sin[(π/2n)^2]＝(π/n)^2/2
(n+1)^(1/2)<2*n^(1/2)
与1/n^(3/2)同阶且知收敛，故原题收敛。

（3）｜Un｜≥Un |Un|+Un≥0恒成立。无论正负。
Vn≤1/2(Un+ |Un |≤1/2(|Un|+|Un|)=|Un|
这个其实很明显的。

补充回答：
只要收敛。S2n=Sn=常数（n趋于无穷） S2n-Sn→0 这是收敛的必要条件。
希望能帮到你，都是比较基础的。加油！！

1、3开n方的极限就是1！

2、n→∞时，1－cos(π/n)等价于1/2×(π/n)^2＝π^2/2×1/n^2