1.
令G(x)=∫x^2→√x f(t)dt 显然G(0)=G(1)=0，G‘(x)=1/2f(√x )/√x -2xf(x^2)
原式=∫0→1G(x)dx
=xG(x)|0→1-∫0→1xG'(x)dx (分部积分)
=-∫0→1x[1/2f(√x )/√x -2xf(x^2)]dx
=-∫0→11/2√xf(√x )dx+∫0→12x^2f(x^2)dx (令前一项√x =u，后一项x^2=v)
=-∫0→1u^2f(u)du+∫0→1√vf(v)dv
=∫0→1 (√x-x^2)f(x)dx
2.
原式=2∫0→1 f(x)d√x=2√xf(x)|0→1-2∫0→1 √xf'(x)dx （分部积分）
=-2∫0→1 √xf'(x)dx
=-2∫0→1 √xe^(-x)/2√xdx
=∫0→1 e^(-x)d(-x)
=e^(-1)-1
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