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已知函数f(x)=(x^2+2x+3)⼀x (x属于[2,+∞),求f(x)的最小值

2025-05-14 12:15:26

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回答1：

因为x属于[2,+∞)
所以f(x)=(x^2+2x+3)/x=x+2+3/x
f(x)导数f`(x)=1-3/(x^2)
因为x属于[2,+∞)，所以x^2>=4所以0<3/(x^2)<=3/4
所以1>f`(x)>=1/4,所以f(x)在[2,+∞)上是增函数
所以f(x)min=f(2)=11/2
注意：可能会想到利用基本不等式x+3/x>=2*根号3
但是取等号的条件x=3/x即x=根号3不在定义域内，所以等号取不到。
若用定义证明单调性的话：
令2<=x1则f(x2)-f(x1)=(x2+2+3/x2)-(x1+2+3/x1)=(x2-x1)+(3/x2-3/x1)=(x2-x1)+3(x1-x2)/x1x2=(x2-x1)(1-3/x1x2)
因为2<=x10
x1x2>=4,所以1/4<=(1-3/x1x2)<1
所以(x2-x1)(1-3/x1x2)>0即f(x2)-f(x1)>0
所以f(x2)>f(x1)
所以f(x)在[2,+∞)上是增函数
所以最小值f(x)min=f(2)=11/2