设向量α＝（a1，a2，...，an）∧T 其中a1不等于0 ，A＝αα∧T 。

要证明By＝0只有零解，只要证明B的列向量组线性无关，也就是向量组β，β+α1，β+α2，...，β+αs线性无关。
证明：设x0β+x1(β+α1)+x2(β+α2)+...+xs(β+αs)＝0，整理下是
(x0+x1+x2+...+xs)β+(x1α1+x2α2+...+xsαs)＝0。 （1）
若x0+x1+x2+...+xs≠0，则β＝-(x1α1+x2α2+...+xsαs)/(x0+x1+...+xs)，是Ax=0的解，即Aβ=0，与已知矛盾。
所以x0+x1+x2+...+xs＝0。 （2）
此时，（1）式变成x1α1+x2α2+...+xsαs＝0。
因为α1，α2，...，αs是Ax=0的基础解系，是线性无关的，所以x1=x2=...=xs=0。
代入（2），x0=0。
所以由x0β+x1(β+α1)+x2(β+α2)+...+xs(β+αs)＝0得出x0=x1=x2=...=xs=0。
所以向量组β，β+α1，β+α2，...，β+αs线性无关。
所以方程组By=0只有零解。

矩阵A的每一行与第一行成比例，初等行变换以后只剩第一行，第一行所有元素除以a平方就得到行最简形式，就出来了

首先把A=αα∧T的矩阵形式写出来：
（a1a1 a1a2 ..a1an
a2a1 a2a2...a2an
..............................
ana1 ana2...anan）
然后我们利用第一行乘以-a2/a1加到第二行，第一行乘以-a3/a1加到第三行直至第一行乘以-an/a1加到第n行，很显然转换成
（a1a1 a1a2 ..a1an
0 0...0
..............................
0 0...0）这个矩阵的秩rA=1，所以他的基础解系含有n-1个解向量，然后利用归一性和排他性把矩阵变为
（1 a2/a1 ...an/a1
0 0...0
..............................
0 0...0）剩下不用我说了吧，注意把a2/a1拿上去的时候要变号为-a2/a1，基础解系为
ξ1=（-a2/a1，1，0...0）∧T，ξ2=（-a3/a1，0，1，...0）∧T...ξn-1=（-an/a1，0，0，...1）∧T
通解为X=k1（-a2/a1，1，0...0）∧T+k2（-a3/a1，0，1，...0）∧T+...+kn-1（-an/a1，0，0，...1）∧T（k1，k2，...kn-1为任意常数）